De quoi dépend un cours ?

[10 min]

On considère le schéma relationnel R défini sur les attributs suivants : C : cours, P : professeur, H : heure, S : salle, E : étudiant, N : note.

Un nuplet (c, p, h, s, e, n) a pour signification que le cours c est fait par le professeur p à l'heure h dans la salle s pour l'étudiant e qui a reçu la note n.

L'ensemble E des dépendances fonctionnelles initiales est le suivant :

  • C → P

  • H,S → C

  • H,P → S

  • C,E → N

  • H,E → S

Question

Donner la fermeture transitive F+ des dépendances fonctionnelles élémentaires engendrées par E.

Solution

  • C→P et H,P→S donc H,C→S

  • H,S→C et C→P donc H,S→P

  • H,P→S et H,S→C donc H,P→C

  • H,E→S et H,S→C donc H,E→C donc H,E→P

  • H,E→C et C,E→N donc H,E→N

En résumé on a :

  • C→P

  • H,C→S

  • H,S→C,P

  • H,P→S,C

  • C,E→N

  • H,E→S,C,P,N

Question

Quelle est la clé de la relation R ? Montrer qu'elle est unique.

Solution

De la fermeture transitive on déduit que (H,E) est une clé potentielle (elle dérive tous les autres attributs).

Elle est unique car H et E sont les seuls attributs qui ne sont pas en partie droite de DF. Donc ils appartiennent forcément à toutes les clés. Comme (H,E) est déjà une clé, il ne peut y en avoir d'autres (critère de minimalité).